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ガロア点を複数もつ平面曲線の新たな例を発見

2019.04.19

平面内にある曲線 (代数曲線) を考えます。 このとき, 曲線の対称性をあらわす「ガロア点」という概念が, 吉原久夫先生 (現:新潟大学名誉教授) によって1996年に導入されました。 ガロア点は曲線の対称性を表現する平面内の特殊な点であるため, たくさん存在すれば, 代数曲線の対称性が高くなります。 しかしながら「ガロア点を2つ (以上) もつ」という曲線の例は近年まであまり多くは知られていませんでした。

数理科学分野の深澤知准教授は2016年に「ガロア点を2つもつ判定条件 (Criterion) 」を発見しました (論文[1])。 現在, その判定条件を利用した研究が世界的に広がりつつあります。

最近, 深澤研究室ではその判定条件を用いて, Suzuki曲線, Ree曲線, Giulietti-Korchmaros曲線という代数曲線について (適切な平面モデルをとれば)「ガロア点を2つもつ」ことを証明しました (論文[2][3])。 これら代数曲線は, 有理点の個数のHasse-Weil上限に到達する「最大曲線」として, また, 自己同型群が大きい代数曲線として重要視されているものです。 さらに, 代数幾何符号の計算においても興味深い対象とされています。 論文[3]ではさらに, 空間Giulietti-Korchmaros曲線に対する「ガロア直線の配置」を完全に決定しました。

また, 論文[3]は深澤准教授と博士後期課程大学院生の東根一樹氏の共同研究によるものです。

(修正)ガロア点のイメージ図_page-0001.jpg

論文名

[1] Satoru Fukasawa, A birational embedding of an algebraic curve into a projective plane with two Galois points, Journal of Algebra 511 (2018), 95-101.
doi:10.1016/j.jalgebra.2018.06.020

[2] Satoru Fukasawa, Birational embeddings of the Hermitian, Suzuki and Ree curves with two Galois points, Finite Fields Appl. 57 (2019), 60-67.
doi:10.1016/j.ffa.2019.02.002

[3] Satoru Fukasawa and Kazuki Higashine, Galois lines for the Giulietti-Korchmaros curve, Finite Fields Appl. 57 (2019), 268-275.
doi:10.1016/j.ffa.2019.02.009

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